rangeringen av et system av lineære ligninger er antall lineært uavhengige rader eller kolonner av koeffisienter matrise av dette systemet. Den koeffisienter matrise er et rutenett av tallene som kommer før systemvariablene . I vårt eksempel , ville koeffisientene matrisen være:
4 5
4 -2
For en rad ( eller kolonne ) til å være lineært uavhengige av en annen rad ( eller kolonne ) , må det være slik at en rad (eller kolonne) ikke kan fremstilles ved en lineær kombinasjon av en annen rad ( eller kolonne ) . Du bør ikke være i stand til flere alle elementene i rad 1 etter et enkelt tall for å få rad 2. Du kan se at alle kolonnene i vårt eksempel koeffisientene matrise er lineært uavhengig , fordi det finnes ikke noe enkelt tall som ville tillate oss å formere 4 for å få 5 og -2 . Du kan også se at radene i vårt eksempel matrise er lineært uavhengige. Det finnes ingen enkelt tall som når det multiplisseres med 4 produserer 4 , og når det multiplisseres med 5 produserer -2 . Dette betyr at graden av vårt eksempel system er 2.
utvidet matrise er en kombinasjon av koeffisientene matrisen og løsningen vektor. I vårt eksempel den utvidede matrisen vil være:
4 5 1
4 -2 2
Fordi denne matrisen har to rader, den høyeste verdien rang av den utvidede matrisen kan muligens være er 2. Derfor, for dette eksemplet , er rangeringen av den utvidede matrisen lik rang matrise av koeffisienter.
Utvide System
i vårt eksempel ligningssystemet , er det bare to variabler. Ligningene beskriver linjer i to- dimensjonale rommet . Hvis vi skulle legge et annet sett av variabler ligningene vil beskrive fly i tredimensjonalt rom . Dette kan utvides til flere dimensjoner . I stedet for å tenke i form av systemer med et bestemt antall variabler , kan vi tenke i form av et generisk system med n variabler . Dette gjør oss i stand til å klassifisere de generelle egenskapene til alle systemer av ligninger uavhengig av antall variabler i systemet.
No Solution
Hvis rang koeffisientene matrisen ikke er lik graden av den utvidede matrisen , er det ingen løsning. Det er ikke unike sett av verdier som tilfredsstiller de krav som er beskrevet i det system av ligninger . Systemet med ligninger kan ikke løses . Hvis systemet ikke kan løses, er systemet sies å være inkonsekvent.
En unik løsning
Det er et enkelt , unikt sett av løsninger til ligningssystemet hvis graden av koeffisientene matrise er lik graden av utvidet matrise og de er begge lik antallet kolonner i matrisen koeffisienter . Det er et enkelt sett med verdier som oppfyller kravene beskrevet av ligningssystemet . Hvis det er en unik løsning , er systemet sies å være uavhengige.
Et uendelig antall løsninger
ligningssystemet har et uendelig antall løsninger hvis rang av koeffisienter matrisen er lik rang av den utvidede matrisen og de er begge mindre enn antall rader i koeffisienter matrise . Thiere er et uendelig stort sett med verdier som oppfyller kravene beskrevet av ligningssystemet . Hvis det finnes et uendelig antall løsninger , er systemet sies å være avhengig .