For å forstå divergens matematiske manifestasjon , først vurdere en deriverbar vektor funksjon v ( x , y, z ) der x , y og z er kartesiske koordinater. Videre lar v1, v2 og v3 være komponenter av v. Divergens av en vektorfelter punktproduktet mellom divergens operatøren og vektorfeltfunksjon. Formelen for divergensen til vektorfeltet v kan derfor defineres som :
div v = (& del ; v1 /& del ; x ) + (& del ; v2 /& del ; y ) + (& del ; v3 /& del ; z)
divergens kan forstås som den partielle deriverte av hver komponent med hensyn til sin kartesiske koordinatplanet . Dot produkter gi skalar løsninger. Divergensen operatør gir derfor en skalar løsning fra en vektor -feltet , noe som tyder div v å være en retningsløs magnitude indikasjon .
En sentral forutsetning
Det grunnleggende konseptet underliggende divergens gjør en stor antagelse , at det i en funksjon som karakteriserer en fysisk eller geometrisk egenskap, verdiene er uavhengige av den spesielle valg av koordinater. Faktisk , er dette tilfelle . Den ytre flux antas å være på vei bort fra kilden med relative ensartethet. Avvik kan forstås som en kvalitativ sats for denne flux eller flyt.
Invarians av divergens
Verdier for div v avhengig av de punkter i rommet og den tilhørende matematisk funksjon . Verdier er invariant med hensyn til koordinattransformasjon . Velge et annet valg for den kartesiske koordinatene x * , y * og z * og tilhørende komponenter v1 * , v2 * og v3 * for funksjon v vil resultere i samme ligning . Denne invarians av divergensen forblir en vesentlig teorem forbundet med denne spesielle operatør
Med hensyn til eventuelle andre koordinater i vektorfeltet og de tilsvarende funksjonskomponenter , forblir divergens beregningen den samme: . Avviket er dot produktet mellom operatør og vektorfeltet , eller delvis avledet av hver komponent med hensyn til sin kartesiske koordinatsystemet .
Tatt til neste nivå
divergens spiller en stor rolle i avansert kalkulus. Operasjonen ligger til grunn for en av de "store" integrerte teoremer, som kan brukes til å forvandle utrolig komplekse beregninger i flere rimelige problemer . Denne prosedyren er kjent som divergensen Theorem av Gauss .
Tenk deg en lukket avgrenset region i verdensrommet , kalt T, med en stykkevis glatt overflate S for sin grense . Anta at n er den ytre enhetsnormalvektoren av overflaten S. La vektoren funksjon F (x , y, z ) både være kontinuerlig og ha sammenhengende første partielle derivater i noen domene inneholdende T. Divergence setning fra Gauss fastslår trippel integralet av divergens av F over et volum kan likestilles med den dobbelte integral av prikk-produktet mellom F og n over et område . Dermed kan komplekse volum integraler bli forvandlet til mer håndterbare flateintegraler gjennom en forståelse og ekstrapolering av divergensen til et vektorfelt.